相依随机变量的强收敛性

【作者】 刘庆；

【导师】 苏中根；

【作者基本信息】 浙江大学 ， 概率论与数理统计， 2007， 硕士

【摘要】 本文是我在硕士阶段完成的，主要研究了相依随机变量的强大数定律和完全收敛性。全文共分三章：第一章两两PQD序列的强大数律和完全收敛性两两PQD序列的概念是Lehmann提出的，它是一类比较广泛的随机变量序列，包含常见的相伴序列。对这方面的研究已经有了一些结果，但不如相伴序列多。Matula得到了两两PQD序列几乎处处中心极限定理，严继高等给出了两两PQD序列的Jamison型加权部分和的强稳定性，陆凤彬给出了与PA列类似的完全收敛性。在第一章中，我们主要考虑了两两PQD序列的Marcinkiewicz型强大数律和另一形式完全收敛性，得到如下结果：定理0.1设{X_n；n≥1}是均值为0的两两PQD列，且sum from i=1 to∞v^1/2（2ⁱ）＜∞。令1≤p＜2；φ：R→R⁺是非负连续的偶函数，（?）φ（x）=∞，对某个1＜s≤2使得（?）↑且φ（x）/x^s↓，x→∞。如果sum from n=1 to∞log² n[（?）Eφ(|X_i|/φ(n^1/p)]^1/2＜∞则1/n^1/psum from i=1 to n X_i→0，a.s. n→∞。定理0.2设{X_n；n≥1}是两两PQD列，对（?）ε＞0，有sum from j=1 to∞V_arX_j/j²+sum from j≠k=1 to∞Cov（X_j，X_k）/j·k＜∞和sum from j≠k=1 to∞P（|sum from i=1 to j（X_i-EX_i）|≥jε，|sum from i=1 to k（X_i-EX_i）|≥kε）＜∞。则sum from n=1 to∞（logn）^-2P（|sum from i=1 to n（X_i-EX_i）|≥ε）＜∞。第二章一类PA序列非单调函数的强大数律和完全收敛性1984年Newman给出了如下定义：定义0.1设f和f₁是定义在Rⁿ上两实值函数，则f《f₁当且仅当f+f₁，f-f₁均为逐点单调不减。特别地，如果f《f₁，则f₁为逐点非降的。设{X_n；n≥1}为PA序列，令（ⅰ）Y_n=f_n（X₁，X₂…，X_n）（ⅱ）（?）_n=（?）_n（X₂，X₂…，X_n） （0.0.1）（ⅲ）f_n《（?）_n（ⅳ）EY_n²＜∞，E（?）_n²＜∞，n∈N当条件（ⅰ）-（ⅳ）成立时，我们记为Y_n《（?）_n。其中f_n，（?）_n为实函数，且仅依赖于有限个X_n。关于{Y_n；n≥1}的极限性质已经有了一些结果。Matula（2001）证明了{Y_n；n≥1}的强大数律和中心极限定理，Dewan和Rao（2006）年得到了Hajek-Renyi型不等式及推广的三级数定理。在第二章我们得到如下结果：定理0.3{X_n；n≥1}为PA列，Y_n，（?）_n如（0.0.1）式定义，且Y_n《（?）_n。gn（x）是偶函数列，且在区间x＞0取正值不减，而且对每一个n满足下列条件之一：（ⅰ）区间x＞0中，x/gn（x）不减；（ⅱ）区间x＞0中，x/gn（x），gn（x）/x²都不增且EY_n=E（?）_n=0。此外{α_n；n≥1}是常数列，满足0＜α_n↑∞，且sum from n=1 to∞E_gn（Y_n）/gn（a_n）＜∞和sum from n=1 to∞(E_gn（（?）_n）/gn（a_n）^1/2＜∞。则当n→∞时1/α_n sum from k=1 to n Y_k→0 a.s。定理0.4{X_n；n≥1}为PA列，Y_n，（?）_n如（0.0.1）式定义，且Y_n《（?）_n。若对（?）ε＞0，sum from j=1 to∞V_ar（?）_j/j²+sum from j≠k=1 to∞Cov（（?）_j,（?））k)/j·k＜∞和sum from j≠k=1 to∞P（|sum from i=1 to j（Y_i-EY_i）|≥jε，|sum from i=1 to k（Y_i-EY_i）|≥kε）＜∞。则sum from n=1 to∞P（|sum from i=1 to n（Y_i-EY_i）|≥ε）＜∞。第三章相依线性过程的完全收敛性假设{X_i；-∞＜i＜∞}是随机变量序列，{α_i；-∞＜i＜∞}是绝对可加的实数序列，定义线性过程{Y_k；k≥1}：Y_k=sum from i=-∞to∞α_i+kX_i。（0.0.2）我们称（0.0.2）式定义的线性过程为滑动平均过程。滑动平均过程是时间序列的重要研究对象，许多作者在适当的假设下得到了相应的极限性质。例如Burton和Dehling（1990）在条件Eexp（tX₁）＜∞下得到了大偏差原理；Ibragimov（1962）建立了的中心极限定理；Yang（1996）得到重对数律；Li et al．（1992）得到完全收敛性。本章第二节{X_i；—∞＜i＜∞}为两两NQD序列时的上述形式的完全收敛性。得到如下结果：定理0.5设1＜p＜2，1/2＜α≤1，αp≥1。若（ⅰ）h（x）＞0（x＞0）为→∞时的缓变函数；（ⅱ）{α_i；—∞＜i＜∞}是绝对可加的实数序列；（ⅲ）EX₁=0，EX₁²＜∞。则E|X₁|^ph(|X₁^1/α|)＜∞蕴涵sum from n=1 to∞n^αp-2h（n）P（|sum from k=1 to n Y_k|≥n^αε）＜∞，（?）ε＞0。设{Y_t；t∈Z⁺}是概率空间（Ω，（?），P）上如下定义的线性过程：Y_t=sum from j=0 to∞α_jX_t-j。（0.0.3）其中{α_j；j≥0}是实数列，sum from j=0 to∞|α_j|＜∞；{X_t；t∈Z⁺}是随机过程且EX_t=0，0＜EX_t²＜∞。我们称（0.0.3）式定义的线性过程为一般线性过程。显然，滑动平均过程是一般线性过程的特殊情况。此类线性过程在时间序列分析中起着特殊的作用，而且由于它在经济，工程，物理科学等方面的广泛应用而备受关注。大量的结果都是通过对{X_t；t∈Z⁺}施加各种各样的条件得到的。Fakhre Zaberi和Lee建立了独立同分布时的CLT；1997年他们又证明了强混合条件下的FCLT；Tae-Sun Kim和Baek建立了平稳LPQD过程时的CLT；而Tae-Sun Kim，Mi-Hwa Ko和Dong Ho Park得到了LPQD和PA过程时的强大数定律。本章第三节我们考虑了正相依样本下的线性过程的完全收敛性，得到如下结果：定理0.6设1＜p＜2，1/2＜α≤1，αp≥1。若（ⅰ）h（x）＞0（x＞0）为x→∞时的缓变函数；（ⅱ）{α_j；j≥0}是实数列且sum from j=0 to∞|α_j|＜∞；（ⅲ）{X_n；n≥1}是被X₀所界的PA列，EX_n=0且sum from i=1 to∞v^1/2（2ⁱ）＜∞。则E|X₀|^ph(|X₀^1/α|)＜∞蕴涵sum from n=1 to∞n^αp-2h（n）P（|S_n|≥εn^α）＜∞，（?）ε＞0。同时，对于两两PQD样本的一般线性过程，我们也得到类似定理0.6的结果。更多还原

【Abstract】 This thesis is finished during my master of science, mainly discusses SLLN andcomplete convergence for dependent random variables. It consist of three chapters:In chapterⅠ, we mainly discuss the strong law of large numbers and completeconvergence for pairwise PQD sequences.The concept of pairwise PQD sequences was introduced by Lehmann. It is a kindof generic sequences, including associated sequences. Matula established a almost ev-erywhere central limit theorem; Yan Jigao proved a strong convergence for Jamison-wise weighted sums of pairwise PQD sequences; Lu Fengbin obtained a completeconvergence which is similar to PA sequences. In this chapter, the following resultsare obtained:Theorem0.1 Suppose{X_n; n≥1}is a pairwise PQD sequence with mean 0, andsum from i=1 to∞v^1/2（2ⁱ）＜∞. Let 1≤p＜2;φ: R→R⁺ is nonnegative, even and continuousfunction, （?）φ（x）=∞, for some 1＜s≤2,φ（x）/x↑andφ（x）/x⁸↓, x→∞. Assume sum from n=1 to∞log² n[（?） Eφ（|X_i|）/φ(n^1/p]^1/2＜∞Then 1/n^1/p sum from i=1 to n X_i→0, a.s. n→∞.Theorem0.2 Suppose{X_n; n≥1} is a pairwise PQD sequence, for（?）ε＞0, sum from j=1 to∞VarX_j/j²+sum from j≠k=1 to∞Cov（X_j, K_k）/j·k＜∞and sum from j≠k=1 to∞P（|sum from i=1 to j（X_i-EX_i）|≥jε, |sum from i=1 to k（X_i-EX_i）|≥kε）＜∞.Then sum from n=1 to∞（logn）^-2P（|sum from i=1 to n（X_i-EX_i）|≥ε）＜∞.In chapterⅡ, we mainly discussed the SLLN for a sequence of nonmonotonic func-tions of associated random variables.The following definition was given by Newman in 1984:Definition0.1 Let f and f₁ be two real-valued functions defined on Rⁿ, then f＜＜f₁ if and only if f+f₁, f-f₁ are both nondecreasing componentwise. In particular, if f＜＜f₁, then f₁ will be nondecreasing componentwise.Let{X_n; n≥1} be a PA sequences. Let（ⅰ） Y_n=f_n（X₁, X₂,…, X_n）（ⅱ） （?）_n=（?）_n（X₁, X₂,…, X_n） （0.0.4）（ⅲ） f_n＜＜（?）_n（ⅳ） EY_n²＜∞, E（?）_n²＜∞, n∈NIf the conditions （ⅰ）-（ⅳ） hold, we write Y_n＜＜（?）_n. There are some limiting resultson{Y_n; n≥1}. Matula（2001） proved SLLN and CLT for {Y_n; n≥1}, Dewan andRao（2006）obtained Hajek-Renyi-tpye inequlity. We prove the following result:Theorem0.3 {X_n; n≥1} is a PA sequence, Y_n, （?）_n is defined in （0.0.1）, andY_n＜＜（?）_n. g_n（X） is even functions, and is positive and nondecreasing when x＞0, forevery n satisfies the alternative assumption that:（ⅰ） x/g_n（x） is nondecreasing in （0,∞）;（ⅱ） x/g_n（x）, g_n（x）/x² are nonincreasing in （0,∞）. Meanwhile EY_n=E（?）_n=0.In addition, {a_n; n≥1} is a sequence of real numbers, with 0＜a_n↑∞, sum from n=1 to∞Eg_n（Y_n）/g_n（a_n）＜∞and sum from n=1 to∞（Eg_n（（?）_n））/g_n（a_n）^1/2＜∞. Then when n→∞, 1/a_n sum from k=1 to n Y_k→0 a.s.In addition, we prove a complete convergence for {Y_n; n≥1} similar to Theo-rem0.2.In chapterⅢ, a complete convergence for linear processes under dependent as-sumption is discussed.Assume that {X_i; -∞＜i＜∞} is a doubly infinite sequence, let {a_i; -∞＜i＜∞} be an absolutely summable sequence of real numbers, and {Y_k; k≥1}: Y_k=sum from i=-∞to∞a_i+kX_i. （0.0.5）Linear processes defined as （0.0.5） are called moving average processes. Manylimiting results were obtained for moving average processes {Y_k; k≥1}. Burton andDehling（1990） obtained large deviation principle assuming Eexp（tX₁）＜∞; Ibragimov（1962） established CLT; Li et al.（1992） obtained a complete convergence. In sectionⅡ, weprove a complete convergence when{X_i; -∞＜i＜∞} is a pairwise NQD sequence:Theorem0.5 Supposel＜p＜2, 1/2＜α＜1,αp≥1. Let（ⅰ） h（x）＞0（x＞0） be a slowly varying function, when x→∞;（ⅱ） {a_i; -∞＜i＜∞} be an absolutely summable sequence of real numbers;（ⅲ） EX₁=0, EX₁²＜∞. ThenE|X₁|^ph(|X₁^1/α|)＜∞imply sum from n=1 to∞n^αp-2h（n）P（|sum from k=1 to n Y_k|≥n^αε）＜∞, （?）ε＞0.Let{Y_t; t∈Z⁺} be a linear process defined on a probability space （Ω, （?）, P）: Y_t=sum from j=0 to∞a_jX_t-j. （0.0.6）where {a_j; j≥0} is a sequence of real numbers, sum from j=0 to∞|a_j|＜∞; {X_t; t∈Z⁺} is a processand EX_t=0, 0＜EX_t²＜∞.Linear processes defined as （0.0.6） are called general linear processes. Obviously, moving average processes are special cases of general linear processes. The linear pro-cesses are of special importance in time series analysis. Fakhre Zaberi and Lee obtainedCLT under i.i.d assumption; in 1997, they obtained FCLT under the strong mixingcondition; Tae-Sun Kim, Mi-Hwa Ko and Dong Ho Park proved SLLN under theLPQD and PA condition on {X_t; t∈Z⁺}. In sectionⅢ, we discuss the linear pro-cess under positive dependence condition on {X_t; t∈Z⁺}, and obtain the followingresult:Therorem0.6 Supposel＜p＜2, 1/2＜α≤1,αp≥1. Let（ⅰ） h（x）＞0（x＞0） be a slowly varying function, when x→∞;（ⅱ） {a_j; j≥0} be a sequence of real numbers and sum from j=0 to∞|a_j|＜∞;（ⅲ） {X_n; n≥1} is a PA sequence bounded by X₀, EX_n =0 and sum from i=1 to∞v^1/2（2ⁱ）＜∞.Then E|X₀|^Ph(|X₀^1/α|)＜∞imply sum from n=1 to∞n^αp-2h（n）P（|S_n|≥εn^α）＜∞, （?）ε＞0.Meanwhile, we obtain a result under pairwise PQD condition on {X_t; t∈Z⁺}similar to the above.更多还原