【作者】 彭友花；

【导师】 戴求亿；

【作者基本信息】 湖南师范大学 ， 基础数学， 2008， 硕士

【摘要】 抛物型微分方程反应了许多物理学、化学、生物学等现象,并且已经取得了非常丰富的成果[1]-[2].从1966年Fujita H.对非线性抛物方程展开研究以来,有Levine H A.Pinsky R G.Escobedo M.等一大批数学家开始关注抛物型方程的非线性研究,在行波解、方程组正平衡解分支与稳定性、解的爆破问题和渐近性质等等各方面取得了丰硕的成果,不但丰富了数学本身的研究方法,也为我们改造世界提供了依据[3]-[11]。本文考虑半线性抛物方程组的Cauchy问题:其中:s是正整数,p_i＞0,m_i＞-2为实数,u_i⁰（x）,i=1,2…,s是定义在R^N上的非负连续函数。和其中:m＞-2,n＞-2,p_i≥0,q_i≥0,i=1,2,u₀（x）,v₀（x）是定义在R^N上的非负连续函数。获得了以下主要结果:1、方程组（Ⅰ）的正解的整体存在的爆破临界指标:（1）设u_i⁰（x）≥0,且u_i⁰（x）≠0,则当1＜γ＜1＋2/N（1＋β）时,其中i=1,2…,s,方程组（Ⅰ）的解在有限时刻爆破。（2）设p_i＞1,γ＞1＋2/N（1＋β）,则当u_i⁰（x）充分大时,其中i=1,2…,s,问题（Ⅰ）的解在有限时间爆破;而当甜u_i⁰（x）充分小时（Ⅰ）具有整体解。其中,β=（?）,β_i=（?）,i=1,2…,s。2、方程组（Ⅱ）的正解的整体存在的爆破临界指标：（1）当u₀（x）≥0,v₀（x）≥0,且δ≠0且max{α,β}＞N/2,则问题（Ⅱ）的解在有限时刻爆破。（2）当u₀（x）≥0,v₀（x）≥0,且δ≠0且max{α,β}＜N/2时,则当u₀（x）,v₀（x）充分大时,问题（Ⅱ）的解在有限时间爆破;当u₀（x）,v₀（x）充分小且p₁＋q₁＞1时（Ⅱ）具有整体解。其中:（?）,δ=det（A－I）当δ≠0时,x=（α,β）^T表示方程（?）的解。更多还原

【Abstract】 Parabolic differential equation responses to a number of physics, chemistry, biology, and has realized ample achievements [1] - [2]. Since 1966 Fujita H. began to study the non-linear equations, a number of mathematicians like Levine H A. Pinsky R G. Escobedo M. mathematicians have begun to pay attention to the study of parabolic equation of nonlinear, and they have made great achievements on good wave solutions, branches and stability of the positive equilibrium solution, and asymptotic nature of the explosion, which not only enriched the methods of mathematics study, but also provided basis to change the world[3] - [11].This paper considered semi-linear parabolic equations of the Cauchy problem:where s∈Z⁺,p_i＞0,m_i∈（-2,+∞）,u_i⁰（x）,i=1,2…,s is defined as non-negative continuous function in R^N.Where m＞-2,n＞-2,p_i≥0,q_i≥0,i=1,2,u₀（x）,v₀（x） are definedas non-negative continuous function in R^N. The main results are as following:1、The Blowing up critical exponent of equation （Ⅰ）:（1）Suppose u₀（x）≥0, v₀（x）≥0 and u_i⁰（x）≠0, if 1＜γ＜1＋2/N（1＋β）,i=1,2…,s,Then the solution of equaton （Ⅰ） is nonglobal.（2）Suppose p_i＞1,γ＞1＋2/N（1＋β）, Then the solutions ofequation （Ⅰ） exist globally for u_i⁰（x） small enough and blowing-up in finite time for u_i⁰（x） large enough.Whereβ=（?）,β_i=（?）,i=1,2…,s.2、The Blowing up critical exponent of equation （2）（1）Suppose u₀（x）≥0, v₀（x）≥0 andδ≠0, if max{α,β}＞N/2,Thenthe solution of equation（Ⅱ） is nonglobal.（2）Suppose u₀（x）≥0,v₀（x）≥0 andδ≠0 and max{α,β}＜N/2,Then the solution of equation （Ⅱ） exist globally for u₀（x）,v₀（x）small enough and p₁＋q₁＞1,blowing-up in finite time foru₀（x）,v₀（x） large enough.Where A=（?）,δ=det（A－I）,ifδ≠0, let x=（α,β）^T be the unique solution of （?）.更多还原