二阶微分方程周期解的存在性与多解性

【作者】 杨海斌；

【导师】 王在洪；

【作者基本信息】 首都师范大学 ， 基础数学， 2009， 硕士

【摘要】 本文考虑Duffing方程x" + g（x） = e（t）,周期解的存在性与多解性,其中g,e: R→R是连续函数,e（t）还是以2π为周期的周期函数.设g（x）满足下列条件:（（τ₀））存在常数μ>0和互素的正整数m,n,以及数列{a_k}, {b_k},a_k→+∞,b_k→+∞, （k→+∞）,使时间映射τ⁺（h）满足本文利用Poincar（?）-Birkhoff扭转定理和Poincar（?）-Bohl不动点定理证明了上述方程周期解的存在性与多解性.另外,本文还研究了二阶奇异微分方程的周期解的存在性,其中a,e∈L¹[0,2π],.f∈Car（[0,2π]×R⁺,R）,并且假设下列条件:（H₀）格林函数G（t,s）是非负的,对所有的（t,s）∈[0,2π]×[0,2π]都成立;（H₁） f（t,x）+e（t）≥0,对于任意的（t,x）∈[0,2π]×（0,+∞）;（H₂）存在非负的函数g（x）,h（x）,k（t）使得其中g（x）+h（x）是单调不增的;（H₃）存在常数R满足,R >Φ_* +γ_* > 0 , R≥K^*（h（r） + g（r）） +γ^*.本文证明了上述奇异方程至少存在一个正周期解.更多还原

【Abstract】 In this paper, we study the existence of periodic solutions of the second order Duffing equationx" + g（x） = e（t）,where g,e : R→R are continuous and e（t） is 2π-periodic. Assume that the following conditions hold,（τ₀） There exist positive constantμ, positive intergers m, n and （m,n）=1, {a_k}, {b_k},a_k→+∞,b_k→+∞, （k→+∞） such thatWe prove the existence and multiplicity of periodic solutions by using Poincar（?）-Birkhoff theorem and Poincar（?） - Bohl fixed point theorem.On the other hand, we also study the existence of periodic solutions of second order differential equations with singularity,where a, e∈L¹[0,2π], f∈Car（[0,2π]×R⁺, R）. Moreover, assume the following conditions hold,（H₀） Green funtion G（t,s） is non-negative for all（t, s）∈[0,2π×[0,2π];（H₁） f（t, x） + e（t）≥0, for all （t, x）∈[0, 2π]×（0, +∞）;（H₂） there exist continuous non-negative functions g（x）, h（x）, k（t） such thatf（t,x）≤k（t）[g（x） + h（x）). for all （t,x）∈[0.2π]×（0, +∞）and g（x） + h（x） is non-increasing;（H₃）there exists a constant R, such that R >Φ_* +γ_* > 0 and R≥K^*（h（r） +g（r）） +γ^*.We prove the exsistence of positive periodic solution of the given equation.更多还原