【作者】 赵雪华；

【导师】 周家足；

【作者基本信息】 贵州师范大学 ， 计算数学， 2007， 硕士

【摘要】 均质积分被Minkowski提出,是凸体理论和积分几何中非常重要的概念和工具.Kubota、Cauchy、Steiner和很多的前辈对均质积分别给出了一系列的公式和定理.均质积分描述了凸体K和和它的正交投影K′_n-r之间的关系.凸体的外平行凸体是积分几何中的重要概念之一.在本文中,我们给出了关于凸体的正交投影的外平行凸体的几个性质.这几个性质分别给出了（n-r）维空间L_n-r[O]中的（n-r）维凸体K′_n-r的均质积分W′_i(K′_n-r)和K′_n-r的外平行凸体(K′_n-r)_ρ的表面积F((K′_n-r)_ρ)、体积V((K′_n-r)_ρ)、边界（?）((K′_n-r)_ρ)的平均曲率积分M_i(（?）((K′_n-r)_ρ))与n维空间中的n维凸体K的均质积分之间关系.本文的第一部分内容是关于几个三角恒等式的,这些恒等式是在证明和推广微分几何中经典的Euler公式时得到的.它们将应用于微分几何和积分几何中.但是作为三角恒等式,这些公式适合于更一般的情形.定理1设三个角θ,,θ_i,θ_j满足:θ=±（θ_i-θ_j）,或θ=θ_i+θ_j,或θ+θ_i+θ_j=2π,则有注1此定理应用于Euler公式的证明中,是在证明Euler公式的过程中得到的一个初等公式.定理2当θ=±（θ_i-θ_j）时,我们有当θ=θ_i+θ_j或θ+θ_i+θ_j=2π时,有注2作为这些三角恒等式的特殊应用,Chen Zhao和Zhou给出了Euler公式和它关于的类推的简单证明（看参考文献[2]）.本文的第二部分是关于外平行凸体的Minkowski均质积分的,Kubota,Cauchy,Steiner等人给出了一系列的公式和定理.目前,武汉大学的李泽芳关于这部分作了很多工作,她的工作是把K′_n-r的外平行凸体限制在L_n-r[O]平面上所作.下面是她最新的结论:结论1设K为n维欧式空间E_n中的凸体,K_ρ是K的距离为ρ的外平行凸体,（K_ρ）′_n-r是K_ρ在（n-r）维平面L_n-r[O]上所作的外平行凸体(即（K_ρ）′_n-r是K_ρ在（n-r）维平面L_n-r[O]上的正交投影).W_r+1+j（K）是凸体K在n维欧式空间E_n中的均质积分,F(（K_ρ）′_n-r)表示（?）(（K_ρ）′_n-r)的表面积（即（n-r-1）维体积）,则有结论2设K为n维欧式空间E_n中的凸体,K_ρ是K的距离为ρ的外平行凸体,（K_ρ）′_n-r是K_ρ在（n-r）维平面L_n-r[O]上所作的外平行凸体(即（K_ρ）′_n-r是K_ρ在（n-r）维平面L_n-r[O]上的正交投影).W（r+i）（K）是凸体K在n维欧式空间E_n中的均质积分,V(（K_ρ）′_n-r)表示（K_ρ）′_n-r的（n-r）维体积,则有结论3设K为n维欧式空间E_n中的凸体,K_ρ是K的距离为ρ的外平行凸体,（K_ρ）′_n-r是K_ρ在（n-r）维平面L_n-r[O]上所作的外平行凸体(即（K_ρ）′_n-r是K_ρ在（n-r）维平面L_n-r[O]上的正交投影).W_r+s+1+j（K）是凸体K在n维欧式空间E_n中的均质积分,M_s(（?）（K_ρ）′_n-r)表示（?）(（K_ρ）′_n-r)的第s个平均曲率积分,则有本文的第二部分的主要工作分为两个方面:一方面是把Kubota公式进行了推广,把它从（n-1）维空间L_n-1[O]推广到（n-r）维空间L_n-r[O]中;另一方面的工作是把李泽芳所作K′_n-r的外平行凸体限制在L_n-r[O]平面上的这个限制去掉,而是在n维空间E_n中作的外平行凸体,从（n-r）维空间推广到了n维空间.下面是我们在本文的第二部分外平行凸体的Minkowski均质积分中用到的定义和引理:定义1（凸集、凸体、凸表面）设K是n维欧式空间E_n中的一个子集,若当A,B∈K时,则连接二点的线段AB也属于K,就称K为E_n中的凸集.紧致具有非空的内部的凸集称为凸体.凸体K的边界（?）K称为凸表面.注3今后我们仅限于讨论有界凸体.注4以O_n表示n维单位球面的面积,可以表示为:引理1 n维欧式空间E_n中过一个定点的非定向的r维平面的总测度(即:Grassmann流形G_r,n-r的体积)为其中O_i是i维单位球面的面积.定义2（Minkowski均质积分）设K为n维欧式空间E_n中的凸体,O是E_n中的一个定点.L_n-r[O]表示过点O的任一（n-r）维平面.过K的每点作垂直于L_n-r[O]的r维平面,这些r维平面与L_n-r[O]的交点构成凸体K′_n-r.K′_n-r叫做K到L_n-r[O]上的正交投影,K′_n-r的（n-r）维体积记为V(K′_n-r).因为过定点的所有（n-r）维平面L_n-r[O]形成一个Grassmann流形G_n-r,r我们引入下面的积分此式对r=1,…,n-1给出了I_r（K）定义.另外,补充规定:I₀（K）=V（K）（K的n维体积）.（7）利用Grassmann流形G_n-r,r的体积公式（5）,我们得到投影K′_n-r的体积V(K′_n-r)的积分平均值:E_n中凸体K的Minkowski均质积分W_r（K）定义如下:1.当r=1,…,n-1时,或2.当r=0时,3.当r=n时,定义3（外平行凸体、平行曲面）设K为n维欧式空间E_n中的凸体,以K中每一点为球心、以常数ρ为半径作闭球体,这些球体的并集称为K的距离为ρ的外平行凸体,记为K_ρ.K_ρ的边界（?）K_ρ称为边界（?）K的距离为ρ的平行曲面.定义4（平均曲率积分）设∑是n维欧式空间E_n中的一个C²类的超曲面,k₁,k₂,…,k_n-1分别是∑的（n-1）个主曲率（函数）,∑的第r个平均曲率积分（记为M_r（∑））定义为:其中d_σ表示∑的面积元,{k_i1,k_i2,…,k_il}为主曲率的第r阶初等对称函数.另外,补充规定:M₀（∑）=F（即∑的面积）.（14）乘积k₁k₂…k_n-1称为曲面的Gauss-Kronecker曲率,它与曲面的球面象的面积元du_n-1的联系是:其中d_σ为曲面∑的面积元.R_i=1/（k_i）（i=1,…,n-1）称为∑的主曲率半径.从而平均曲率积分可以用主曲率半径定义如下:其中{R_i1,R_i2,…,R_in-r-1}为R_i1,R_i2,…,R_in-1的第（n-1）-r阶初等对称函数.引理2（Kubota公式）设K为n维欧式空间E_n中的凸体,L_n-1[O]表示过点O的任一（n-1）维平面,K′_n-1为K在L_n-1[O]上的投影.W_r（K）为n维欧式空间E_n中的凸体K的均质积分,W′_r-1(K′_n-1)是（n-1）维空间L_n-1[O]中的凸体K′_n-1的均质积分.则有其中（1/2）U_n-1表示（n-1）维单位球面的一半,即G_1,n-1;Q_n-2表示（n-2）维单位球面的面积.引理3（Cauchy公式）设K为n维欧式空间E_n中的凸体,（?）K为K的凸表面,W₁（K）为K的均质积分,F为（?）K的表面积（即（n-1）维体积）,则有F=nW₁（K）.（16）引理4（Steiner公式）设K为n维欧式空间E_n中的凸体,K_ρ为K的距离为ρ的外平行凸体,V（K_ρ）表示K_ρ的体积,W_j（K）表示K的均质积分,则有引理5设K为n维欧式空间E_n中的凸体,K_ρ为K的距离为ρ的外平行凸体,W_i+j（K）为K的均质积分,W_i（K_ρ）为K_ρ的均质积分,则有引理6设n维欧式空间E_n中的凸体K的边界（?）K是一个C²类的超曲面,K_ρ为K的距离为ρ的外平行凸体,（?）K为（?）K的距离为ρ的平行曲面.W_r+1（K）为K的均质积分,M_r（（?）K）为（?）K的平均曲率积分,M_i（（?）K_ρ）为（?）K_ρ的平均曲率积分,则有运用上面的引理,我们可以得到如下定理:定理3设K为n维欧式空间E_n中的凸体,K′_n-r为K到（n-r）维平面L_n-r[O]上的正交投影.W_i+r（K）表示K在n维欧式空间E_n中的均质积分,W′_i(K′_n-r)为（n-r）维空间L_n-r[O]中的凸体K′_n-r的均质积分,则有其中O_i是i维单位球面的面积,G_r,n-r表示Grassmann流形.注5当r=1时,定理3就是Kubota公式.定理4设K为n维欧式空间E_n中的凸体,K′_n-r为K到（n-r）维平面L_n-r[O]上的正交投影,(K′_n-r)_ρ为K′_n-r在n维欧式空间E_n中的距离为ρ的外平行凸体.W_j+1+r（K）表示凸体K在n维欧式空间E_n中的均质积分,F((K′_n-r)_ρ)为（?）((K′_n-r)_ρ)的表面积（即（n-1）维体积）,则有其中O_i是i维单位球面的面积,G_r,n-r表示Grassmann流形.定理5设K为n维欧式空间E_n中的凸体,K′_n-r为K到（n-r）维平面L_n-r[O]上的正交投影,(K′_n-r)_ρ为K′_n-r在n维欧式空间E_n中的距离为ρ的外平行凸体.W_j+r（K）表示凸体K在n维欧式空间E_n中的均质积分,V((K′_n-r)_ρ)表示(K′_n-r)_ρ的n维体积,则有其中O_i是i维单位球面的面积,G_r,n-r表示Grassmann流形.定理6设K为n维欧式空间E_n中的凸体,K′_n-r为K到（n-r）维平面L_n-r[O]上的正交投影,(K′_n-r)_ρ为K′_n-r在n维欧式空间E_n中的距离为ρ的外平行凸体,（?）((K′_n-r)_ρ)为（?）(K′_n-r)的距离为ρ的平行曲面,且（?）((K′_n-r)_ρ)为C²类的超曲面.W_i+j+1+r（K）表示凸体K在n维欧式空间E_n中的均质积分,M_i(（?）((K′_n-r)_ρ))表示（?）((k′_n-r)_ρ)的平均曲率积分,则有其中O_i是i维单位球面的面积,G_r,n-r表示Grassmann流形.更多还原

【Abstract】 The concept of quermassintegrale is introduced by Minkowski.It is of basic importance in the theory of convex bodies and integral geometry.Kubato,Cauchy, Steiner and others give a serial of formulas and theorems about the quermassinte-grale.Quermassintegrale describe the relationships between the convex figure K and its orthogonal projection K’_n-r.In this Paper,we give several properties about the outer parallel convex body of the convex-figure’s orthogonal projection.The properties respectively give the relations among quermassintegrale W_i+r（K）of the convex figure K,quermassintegrale W’_i(K’_n-r)of the orthogonal projection K’_n-rof K and the（n-1）-dimensional surface area F((K’_n-r)_ρ)and the n-dimensional volume V((K’_n-r)_ρ)of the outer parallel body(K’_n-r)_ρof the orthogonal projection K’_n-ras a convex figure in（n-r）-dimensional space L_n-r[O]and integral of mean curvature M_i(（?）((K’_n-r)_ρ)).In the first part of the thesis,we give several triangle identical equations.These triangle identical equations describe the relationships amongθ_k（k=i,j）that are the angles between the curvature vector kβof the intersection curveΓof two surfaces∑_k（k=i,j）,the two surfaces∑_k（k=i,j）and the angleθbetween∑_i and∑_j.As the triangle identical equations,these formulas are fit for the general conditions.Let the three anglesθ,,θ_i,θ_j satisfy the following equations:θ=±（θ_i-θ_j）,orθ=θ_i+θ_j,orθ+θ_i+θ_j=2π,thenWhenθ=±（θ_i-θ_j）,we haveWhenθ=θ_i+θ_j,orθ+θ_i+θ_j=2π,we getIn the second part of the thesis,we give several properties about the Minkowski quermassintegrale of the outer parallel body of the convex-figure’s orthogonal pro-jection.Let K be a convex figure in E_n and let O be a fixed point.Let L_n-r[O]be all the（n-r）-planes through O and let K’_n-rbe the orthogonal projection of K into the L_n-r[O].If W_i+r（K）are the quermassintegrale of a convex figure K in E_n and W’_i(K’_n-r)are the quermassintegrale of K’_n-ras a convex figure in（n-r）-dimensional space L_n-r[O],then Let K be a convex figure in E_n and let O be a fixed point.Let L_n-r[O]be all the（n-r）-planes through O and let K’_n-rbe its orthogonal projection of K into the L_n-r[O].Denoted by(K’_n-r)_ρthe outer parallel body of K’_n-rin the distance p in E_n.If W_j+1+r（K）are the quermassintegrale of a convex figure K in E_n and F((K’_n-r)_ρ)denotes the（n-1）-dimensional surface area of（?）((K’_n-r)_ρ),thenLet K be a convex figure in E_n and let O be a fixed point.Let L_n-r[O]be all the （n-r）-planes through O and let K’_n-rbe its orthogonal projection of K into the L_n-r[O].Denoted by(K’_n-r)_ρthe outer parallel body of the orthogonal projection K’_n-rin the distanceρin E_n.If W_j+r（K）are the quermassintegrale of a convex figure K in E_n and V((K’_n-r)_ρ)denotes the n-dimensional volume of(K’_n-r)_ρ,thenLet K be a convex figure in E_n and let O be a fixed point.Let L_n-r[O]be all the （n-r）-planes through O and let K’_n-rbe its orthogonal projection of K into the L_n-r[O]and let（?）((K’_n-r)_ρ)be a hypersurface of class C² in E_n.Denoted by(K’_n-r)_ρthe outer parallel body of the orthogonal projection K’_n-rin the distance p in E_n. If W_i+j+1+r（K）are the quermassintegrale of K in E_n and M_i(（?）((K’_n-r)_ρ))denotes the integral of mean curvatures of（?）((K’_n-r)_ρ),then更多还原