【作者】 李春霞；

【导师】 耿献国； 李梦如；

【作者基本信息】 郑州大学 ， 基础数学， 2002， 硕士

【摘要】 1990年，曹策问先生在上海非线性物理国际学术会议上做了题为“通过特征值问题的非线性化产生经典可积系统”的报告，在这篇报告中他提出了非线性化方法。这种方法开始应用到很多2×2矩阵谱问题，得到了数十个有限维可积系统。后来，有人把这种方法推广应用到三阶和四阶高阶矩阵谱问题。高阶矩阵谱问题是物理界很感兴趣的问题，是目前国际上孤子理论研究的趋势。但由于这种问题计算量大、计算复杂，对高阶矩阵谱问题非线性化的研究较少。 当我们考虑高阶的矩阵谱问题时，需要一些特殊的技巧和进行大量的计算。特别地，体现在算子对的获得和证明守恒积分的对合性和独立性上。 本文考虑了一个有三个位势的4×4矩阵谱问题：导出一族新的非线性演化方程，其中一个典型的方程是耦合KdV方程，它在物理学中有很重要的应用。同时，借助迹恒等式，这族方程还具有广义双Hamiltonian结构。通过Bargmann约束我们得到一个有限维Hamiltonian系统。利用驻定零曲率方程解矩阵V(λ)的特征多项式：可得到2N个对合的守恒积分。文中用母函数方法给出对合性的证明，从而证明了该Hamiltonian系统在Liouville意义下是完全可积的。此外，还得到了耦合KdV方程的对合解。更多还原

【Abstract】 By introducing a 4x4 matrix spectral problem with three potentials, we derive a new hierarchy of nonlinear evolution equations. A typical equation in the hierarchy is a coupled KdV equation. It is shown that the hierarchy possesses the generalized bi-Hamiltonian structures with the aid of the trace identity. Through the nonlinearization of eigenvalue problems, we get a new finite-dimensional Hamiltonian system, which is completely integrable in Liouville sense. In the end, we obtain the involutive solution of the coupled KdV equation.更多还原