圆盘上在二面体群下不变测度的调和分析

【作者】 刘丽敏；

【导师】 李中凯；

【作者基本信息】 首都师范大学 ， 基础数学， 2001， 硕士

【摘要】 从H.Pollard的研究开始，Jacobi级数理论及与此相关的更深入的函数论问题有了很大的发展。B.Muckenhoupt和E.M.Stein在1965年系统研究了超球级数（单参Jacobi级数）的共轭级数，并建立了相应的H^p空间的基本理论。这些工作被李中凯教授在1996年推广到一般形式（双参数）的Jacobi级数，但他们所讨论的广义解析函数F=u+iv中的u和v分别是单位圆盘上的全偶函数和全奇函数，而且u和v满足不同的广义Laplace方程。如何把他们的结果推广到单位圆盘上的一般函数，一直困扰着我们。1988年以来，C.F.Dunkl等研究了关于在有限反射群下不变测度的球面调和函数（称为h-调和函数），特别是找到了单位圆盘上相应于二面体群D₂的正交基，该正交基由四组参数不同的Jacobi多项式系组成，这为解决上述问题带来了希望。 本文就是在Dunkl理论的基础上研究单位圆盘上相应于二面体群D₂的h-调和函数，共分五章。第一章主要介绍Jacobi级数和Dunkl理论；第二章介绍对于（0,2π）上的函数f相应于D₂的h-调和级数展式及其Poisson积分u（x,y），u（x,y）在区域D={（x,y）：x²+y²＜1}内是h-调和的，即△_hu（x,y）=0，此处借助Dunkl定义的一阶微分-差分算子T₁，T₂，在第二章中还引入了广义Cauchy-Riemann方程组：得到u（x,y）的共轭h-调和函数v（x,y）.v（x,y）在D内也是h-调和的。由此定义了h-共轭函数（广义的Hilbert变换）f→f；第三章得到了相应于D₂的h-调和函数的极大值原理、平均值定理、Poisson积分的特征等；第四章主要研究共轭Poisson核Q（r,θ），给出了Q的准确估计，证明了共轭Poisson积分是（p,p）（1＜p＜∞）有界，弱（1,1）有界的；第五章引进了h-解析函数F=u+iv（u,v在D内满足（★））并研究了相应的H^p空间。当u是全偶函数时，v一定是全奇函数，这时△_h和（★）中的差分项消失，恰好回到李中凯教授所研究的通常Jacobi级数的情况，从而解决了前面所提出的问题。更多还原

【Abstract】