某些非线性椭圆型方程的多重正解

【作者】 林丽珊；

【导师】 刘兆理；

【作者基本信息】 首都师范大学 ， 基础数学， 2009， 博士

【摘要】 这篇论文主要研究三类非线性椭圆方程的多解性问题.本文由四章组成.第一章,阐述论文的研究背景和我们所得到新的结果.第二章,研究一类半线性Schr（o|¨）dinger方程多包解的存在性,其中N≥1,2<p<2^*,2^*是临界指标,当N≥3时,2^*=（?）,当N=1或N=2时,2^*=∞,ε>0是一个参数.设函数a满足下面的条件:a∈C（R^N）,a（x）>0,（?）x∈R^N,当|x|→∞时,a（x）=o（1）,ln（a（x））=o（|x|）.对于任意正整数n,我们证出存在ε（n）>0使得对于0<ε<ε（n）,方程存在一个正的n-包解.从而当ε→0时,方程有越来越多的正的多包解.第三章,设ε>0是一个很小的参数.我们研究一类半线性Schr（o|¨）dinger方程多个正的多包解的存在性,其中N≥1,2<p<2^*,a∈C（R^N）,a（x）>0,（?）x∈R^N,lim_|x|→∞a（x）=0.本章也研究如下指定纯量曲率方程多个证得多塔解的存在性,其中N≥3,K∈C（[0,∞]）满足K（r）>0,r>0,lim_r→0K（r）=0,lim_r→∞K（r）=0.我们还考虑更一般的方程以及另一个相关的方程其中N≥3,q>1.我们要强调的是我们没有对q的上界做任务限制.第四章,我们研究如下Caffarelli-Kohn-Nirenberg型临界椭圆方程多个正的多泡解的存在性.其中N≥3,a,b,p,v满足适当的条件,K∈C（R^N）,K（x）>0,（?）x∈R^N,lim_|x|→∞K（x）=0,lim_|x|→∞K（x）=0,ε>0是一个小参数.更多还原

【Abstract】 This paper mainly studies the existence of multiple solutions for three types of nonlinear elliptic equations. The thesis consists of four chapters.In chapter one, we introduce some research background and our new results.In chapter two, we study the existence of multi-bump solutions for the semilinear Schr（o|¨）dinger equationwhere N≥1,2 < p < 2^*,2^* is the critical Sobolev exponent defined by 2^* =（?） if N≥3 and 2^* =∞if N = 1 or N = 2, andε> 0 is a parameter. The function a is assumed to satisfy the following conditions: a∈C（R^N）,a（x） > 0 in R^N,a（x） =o（1） and ln（a（x）） =o（|x|） as |x|→∞.For any positive integer n, we prove that there existsε（n） > 0 such that, for 0 <ε<ε（n）, the equation has an n-bump positive solution. Therefore, the equation has more and more multi-bump positive solutions asε→0.In chapter three, letε> 0 be a small parameter. We study existence of multiple multi-bump positive solutions for the semilinear Schr（o|¨）dinger equationwhere N≥1,2 <p <2^*,a∈C（R^N）,a（x） > 0 for x∈R^N,and lim_|x|→∞ a（x） = 0.We also study existence of multiple multi-tower positive solutions for the prescribed scalar curvature equationwhere N≥3, K∈C（[0,∞）), K（r） > 0 for r > 0, lim_r→0 K（r） = 0, and lim_r→∞ K（r） = 0.We also consider the more general equationand another related equation iswhere N≥3 and q > 1.We would like to emphasize that we do not impose any upper bound on q.In chapter four, the goal of this paper is to establish the existence of multiplicity of multi-bubble positive solutions for the following critical elliptic equations of Caffarelli-Kohn-Nirenberg type Where N≥3, a,b,p,v satisfy some conditions, K∈C（R^N）,K（x） > 0 for x∈R^N, lim_|x|→∞ K（x） = 0,lim_|x|→∞K（x） = 0 andε> 0 is a small parameter.更多还原