有理方体与堆垒数论中若干问题

【作者】 郭曙光；

【导师】 陈永高；

【作者基本信息】 南京师范大学 ， 基础数学， 2004， 博士

【摘要】 本文研究有理方体与堆垒数论中的一些问题。得到的主要结果如下： 1．棱长和面对角线长均为有理数的长方体称为有理方体。找有理方体等价于解丢番图方程组：x²+y²=l²，x²+z²=m²，y²+z²=n²。许多数学家（包括欧拉）都曾研究过这一问题，给出了许多参数解。对任一本原商高组（a，b，c），是否存在整数s，t使得s²+t²a²，s²+t²b²均为平方数呢?本文提出这一问题，并给出处理这个问题一般方法。一定意义上说，我们将这一问题归结为有限计算。 2．设A是k个正整数构成的集合。称{∑_b∈Bb：B（?）A，B≠φ}为A的子集和集合，记为S（A）．M．B．Nathanson在Trans．Am．Math．Soc．（1995，347（4）：1409-1418）中研究了子集和的逆问题，并提出一个未解决问题。本文研究这一问题，提出如下猜想：若|A|=k≥ 6，gcd（A）=1，A中最大数为M，则同时给出这个猜想的部分证明。所得定理改进了Nathanson的结果。 3．设G为有限阿贝耳群。对满足条件|A|+|B|=|G|的G的非空子集A和B，我们确定了和集A+B={a+b：a∈A，b∈B}基数的所有可能取值，并描述使A+B≠G的那些子集A，B的结构。记 A（?）B={a+b：a∈A，b∈B，a≠b}，L（G）=|{g：g∈G，2g=0}|。对满足|A|+|B|=|G|+L（G）的G的非空子集A和B，我们证明了|A（?）B|≥|G|-2，并完全描述使A（?）B≠G的那些子集A，B的结构。所得结果推广了L．Gallardo等人在Z／nZ中关于A（?）A的相应结论（J．London Math．Soc．2002，65（2）：513-523）。 4．设A，B为整数区间[1，n]的两个非空子集，t为正整数。定义 （A+B）_t={x∈A+B：至少存在t对（a，6）∈A×B使得x=a+b}。本文证明了：若|A|+|B|≥（4n+4t-3）／3，则（A+B）_t中包含一个长至少为|A|+|B|-2t+1连续整数块。利用我们的方法，我们还证明了：若|A|+|B|≥4n／3，则A+B中包含长为n的算术级数；对任一满足2≤r≤（4n-1）／3的整数r，存在[1，n]的两个非空子集A，B使得|A|+|B|=r，而A+B中算术级数长度至多为（r+2）／2，进而至多为（2n-1）／3+1。同时，我们给出了这些结果在A（?）B中的平行结论。更多还原

【Abstract】 In this dissertation, we investigate rational cuboids and some problems in additive number theory. The main results are summarized as follows.1. A rational cuboid is a rectangular parallelepiped whose edges and face diagonals all have rational lengths. The problem of finding rational cuboids has attracted much historical interest. Are there rational cuboids with a given face? We pose this problem and develop a general theory to deal with this problem. In a sense, we reduce this problem to a finite calculation.更多还原